回溯

简介

回溯算法（backtracking algorithm）是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。

回溯算法通常采用“深度优先搜索”来遍历解空间。

常见问题

全排列问题

在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。

• 无重复元素情况

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 I"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素
        if not selected[i]:
            # 尝试：做出选择，更新状态
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 进行下一轮选择
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            selected[i] = False
            state.pop()


def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 I"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 2, 3]

    res = permutations_i(nums)

    print(f"输入数组 nums = {nums}")
    print(f"所有排列 res = {res}")

• 有重复元素

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 II"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    duplicated = set[int]()
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if not selected[i] and choice not in duplicated:
            # 尝试：做出选择，更新状态
            duplicated.add(choice)  # 记录选择过的元素值
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 进行下一轮选择
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            selected[i] = False
            state.pop()


def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 II"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 2, 2]

    res = permutations_ii(nums)

    print(f"输入数组 nums = {nums}")
    print(f"所有排列 res = {res}")

子集和问题

给定一个正整数数组 nums 和一个目标正整数 target ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 target 。每个元素可以被选取多次。

• 无重复元素

def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 I"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()


def subset_sum_i(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 I"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    nums = [3, 4, 5]
    target = 9
    res = subset_sum_i(nums, target)

    print(f"输入数组 nums = {nums}, target = {target}")
    print(f"所有和等于 {target} 的子集 res = {res}")

• 有重复元素

def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 II"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    # 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start and choices[i] == choices[i - 1]:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()


def subset_sum_ii(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 II"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    nums = [4, 4, 5]
    target = 9
    res = subset_sum_ii(nums, target)

    print(f"输入数组 nums = {nums}, target = {target}")
    print(f"所有和等于 {target} 的子集 res = {res}")

N皇后问题

根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n×n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

def backtrack(
    row: int,
    n: int,
    state: list[list[str]],
    res: list[list[list[str]]],
    cols: list[bool],
    diags1: list[bool],
    diags2: list[bool],
):
    """回溯算法：N 皇后"""
    # 当放置完所有行时，记录解
    if row == n:
        res.append([list(row) for row in state])
        return
    # 遍历所有列
    for col in range(n):
        # 计算该格子对应的主对角线和次对角线
        diag1 = row - col + n - 1
        diag2 = row + col
        # 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、次对角线上存在皇后
        if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
            # 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
            # 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            # 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False


def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
    """求解 N 皇后"""
    # 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    cols = [False] * n  # 记录列是否有皇后
    diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录主对角线上是否有皇后
    diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录次对角线上是否有皇后
    res = []
    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

    return res


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    n = 4
    res = n_queens(n)

    print(f"输入棋盘长宽为 {n}")
    print(f"皇后放置方案共有 {len(res)} 种")
    for state in res:
        print("--------------------")
        for row in state:
            print(row)